Question

函數y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于y軸對稱，若y=f^-1（x）是y=f（x）的反函數，則y=f^-1（x²-2x）的單調遞增區(qū)間是

 

．

Answer 1

考點：反函數

專題：函數的性質及應用

分析：函數y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于y軸對稱，可得f（x）=2^-x．由于y=f^-1（x）是y=f（x）的反函數，可得f^-1（x）=log

1

2

x．y=f^-1（x²-2x）=log

1

2

(x2-2x)=log

1

2

[(x-1)2-1]，再利用對數函數的定義域與單調性、二次函數的單調性、復合函數的單調性即可得出．

解答： 解：∵函數y=f（x）的圖象與y=2^x的圖象關于y軸對稱，
∴f（x）=2^-x．
∵y=f^-1（x）是y=f（x）的反函數，
∴f^-1（x）=log

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2

x．
y=f^-1（x²-2x）=log

1

2

(x2-2x)=log

1

2

[(x-1)2-1]，
∵x²-2x＞0，解得x＜0，或x＞2．
當x∈（-∞，0）時，函數u（x）=（x-1）²-1單調遞減，因此y=f^-1（x²-2x）單調遞增．
∴y=f^-1（x²-2x）的單調遞增區(qū)間是（-∞，0）．
故答案為：（-∞，0）．

點評：本題考查了反函數的求法、對數函數的定義域與單調性、二次函數的單調性、復合函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．