【題目】【2017福建三明5月質(zhì)檢】已知函數(shù), .
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求證:過(guò)點(diǎn)有三條直線與曲線相切;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(I)詳見解析;(II).
【解析】
解法一:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為: ,
因?yàn)榍芯過(guò)點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴,
設(shè),
∵, , ,
∴在三個(gè)區(qū)間上至少各有一個(gè)根
又因?yàn)橐辉畏匠讨炼嘤腥齻(gè)根,所以方程恰有三個(gè)根,
故過(guò)點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)∵當(dāng)時(shí), ,即當(dāng)時(shí),
∴當(dāng)時(shí), ,
設(shè),則,
設(shè),則.
(1)當(dāng)時(shí),∵,∴,從而(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立)
∴在上單調(diào)遞增,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), .
(2)當(dāng)時(shí),令,得,∴,
故當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞減,
又∵,∴當(dāng)時(shí), ,
從而當(dāng)時(shí), ,
∴在上單調(diào)遞增,又∵,
從而當(dāng)時(shí), ,即
于是當(dāng)時(shí), ,
綜合得的取值范圍為.
解法二:(Ⅰ)當(dāng)時(shí), ,
,
設(shè)直線與曲線相切,其切點(diǎn)為,
則曲線在點(diǎn)處的切線方程為,
因?yàn)榍芯過(guò)點(diǎn),所以,
即 ,
∵,∴
設(shè),則,令得
當(dāng)變化時(shí), , 變化情況如下表:
+ | 0 | - | 0 | + | |
↗ | 極大值 | ↘ | 極小值 | ↗ |
∴恰有三個(gè)根,
故過(guò)點(diǎn)有三條直線與曲線相切.
(Ⅱ)同解法一.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=sin(2x+ )﹣ cos(2x+ ).
(1)數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;
(2)若f(α)= ,α∈(0, ),求cosα的值.
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(1)若a=b,求cosB的值;
(2)若B=60°,△ABC的面積為4 ,求b的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(1)當(dāng)a=2時(shí),解不等式f(x)≤﹣ ;
(2)若存在實(shí)數(shù)x,使得不等式f(x)≥a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】【2017山西孝義考前熱身】已知函數(shù) (是常數(shù)),
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)當(dāng)時(shí),函數(shù)有零點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列{an},{bn},Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,向量 =(1,bn), =(an﹣1,Sn), ∥ .
(1)若bn=2,求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式;
(2)若bn= ,a2=0.
①證明:數(shù)列{an}為等差數(shù)列;
②設(shè)數(shù)列{cn}滿足cn= ,問(wèn)是否存在正整數(shù)l,m(l<m,且l≠2,m≠2),使得cl、c2、cm成等比數(shù)列,若存在,求出l、m的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中, 是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;
(Ⅱ)若,證明: .
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【題目】已知定義在R上的函數(shù)y=f(x)對(duì)任意的x都滿足f(x+1)=﹣f(x),當(dāng)﹣1≤x<1時(shí),f(x)=x3 , 若函數(shù)g(x)=f(x)﹣loga|x|至少6個(gè)零點(diǎn),則a取值范圍是( )
A.
B.
C.
D.
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【題目】下列命題錯(cuò)誤的是( )
A.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β
B.如果平面α⊥平面β,那么平面α內(nèi)一定存在直線平行于平面β
C.如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ
D.如果平面α不垂直于平面β,那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β
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