已知定義在正實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)滿足:①對(duì)任意a,b∈R都有f(a•b)=f(a)+f(b)②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0   ③f(3)=-1
(1)求f(1)的值
(2)證明函數(shù)y=f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)
(3)若集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p,q∈R+},集合B={(p,q)|f(
p
q
)+
1
2
=0,p,q∈R+},問(wèn)是否存在p,q,使A∩B≠∅,若存在,求出p,q的值,不存在則說(shuō)明理由.
分析:(1)直接令a=1,b=1代入f(a•b)=f(a)+f(b)即可得到結(jié)論;
(2)先根據(jù)f(a•b)=f(a)+f(b)得到f(x)=-f(
1
x
);再結(jié)合x(chóng)>1時(shí),f(x)<0以及單調(diào)性的定義即可得到答案;
(3)先分別利用f(3)=-1把兩個(gè)集合進(jìn)行轉(zhuǎn)化,再結(jié)合一元二次不等式的解法即可得出結(jié)論.
解答:解:(1)令a=1,b=1,∵f(a•b)=f(a)+f(b);
∴f(1)=f(1)+f(1)
∴f(1)=0
(2)證明,設(shè)a,b為任意正實(shí)數(shù),且0<a<b,
b
a
>1.
∴f(
b
a
)=f(b)+f(
1
a
),
∵f(1)=f(x)+f(
1
x
)=0
∴f(x)=-f(
1
x
);
∴f(
b
a
)=f(b)+f(
1
a
)=f(b)-f(a)<0;
即f(b)<f(a);
故函數(shù)y=f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù).
(3)解∵f(p2+1)-f(5q)-2>0,由(2)知f(x)=-f(
1
x
);
∴f(p2+1)+f(
1
5q
)>2;
∴f(
p2+1
5q
)>2;
又f(3)=-1,
∴f(
1
3
)=1
∴f(9)=-2;
∴f(
1
9
)=2;
∴f(
p2+1
5q
)>2=f(
1
9
);
p2+1
5q
1
9
     ①
又∵f(
p
q
)+
1
2
=0;
∴f(
p
q
)+
1
2
f(
1
3
)=0;
f(
p
q
)+f(
1
3
)=0;
p
3
q
=1,p=
3
q;     ②
由①②整理得:27q2-5q+9<0不成立,
∴不存在p,q,使A∩B≠∅.
點(diǎn)評(píng):本題考點(diǎn)是抽象函數(shù)及其應(yīng)用,考查用賦值法求函數(shù)值,以及靈活利用所給的恒等式證明函數(shù)的單調(diào)性,此類題要求答題者有較高的數(shù)學(xué)思辨能力,屬于較高難度的題目.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=
2x4x+1

(1)證明f(x)在(0,1)上為減函數(shù);
(2)求函數(shù)f(x)在[-1,1]上的解析式;
(3)當(dāng)λ取何值時(shí),方程f(x)=λ在R上有實(shí)數(shù)解.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2,且當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f(x)=
2x4x+1

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)在(-1,1)上的解析式;
(Ⅱ)判斷f(x)在(0,1)上的單調(diào)性;
(Ⅲ)當(dāng)λ取何值時(shí),方程f(x)=λ在(-1,1)上有實(shí)數(shù)解?

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知定義在正實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)滿足:①對(duì)任意a,b∈R都有f(a•b)=f(a)+f(b)②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0  ③f(3)=-1
(1)求f(1)的值
(2)證明函數(shù)y=f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)
(3)若集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p,q∈R+},集合B={(p,q)|f(數(shù)學(xué)公式)+數(shù)學(xué)公式=0,p,q∈R+},問(wèn)是否存在p,q,使A∩B≠∅,若存在,求出p,q的值,不存在則說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2011-2012學(xué)年黑龍江省綏化市慶安三中高三(上)第一次考試數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

已知定義在正實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y=f(x)滿足:①對(duì)任意a,b∈R都有f=f(a)+f(b)②當(dāng)x>1時(shí),f(x)<0   ③f(3)=-1
(1)求f(1)的值
(2)證明函數(shù)y=f(x)在R上為單調(diào)減函數(shù)
(3)若集合A={(p,q)|f(p2+1)-f(5q)-2>0,p,q∈R+},集合B={(p,q)|f()+=0,p,q∈R+},問(wèn)是否存在p,q,使A∩B≠∅,若存在,求出p,q的值,不存在則說(shuō)明理由.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案