Question

已知函數(shù)f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

，函數(shù)g（x）=f²（x）+f（x）+t（t∈R）．關(guān)于g（x）的零點(diǎn)，下列判斷不正確的是（　　）

• A．若t=

  1

  4

  ，g(x)有一個(gè)零點(diǎn)
• B．若-2＜t＜

  1

  4

  ，g(x)有兩個(gè)零點(diǎn)
• C．若t=-2，g（x）有三個(gè)零點(diǎn)
• D．若t＜-2，g（x）有四個(gè)零點(diǎn)

Answer 1

分析：由已知中函數(shù)f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的解析式，畫出函數(shù)f（x）的圖象，令m=f（x），可得m≥1時(shí)，m=f（x）有兩根，m＜1時(shí)，m=f（x）有一根，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)分析t取不同值時(shí)，g（x）=m²+m+t根的個(gè)數(shù)及分面情況，綜合討論結(jié)果，可得答案．

解答：解：函數(shù)f(x)=

3x (x≥0) log3(-x) (x＜0)

的圖象如下圖所示：

令m=f（x），m≥1時(shí)，m=f（x）有兩根，m＜1時(shí)，m=f（x）有一根，
若t=

1

4

，則g（x）=f²（x）+f（x）+

1

4

=[m+

1

2

]²=0
此時(shí)m=

1

2

，由上圖可得，此時(shí)函數(shù)m=0有一個(gè)根，
即g（x）有一個(gè)零點(diǎn)，故A正確；
若t=-2，則g（x）=f²（x）+f（x）-2=（m+2）•（m-1）=0
此時(shí)m=-2，m=1，此時(shí)g（x）=0有三個(gè)根，
即g（x）有三個(gè)零點(diǎn)，故C正確；
若-2＜t＜

1

4

，則g（x）=m²+m+t=0有兩個(gè)根，但均小于1
此時(shí)，g（x）=0有兩個(gè)根，故B正確；
若t＜-2，則g（x）=m²+m+t=0有兩個(gè)根，一個(gè)大于1，一個(gè)小于1
此時(shí)，g（x）=0有三個(gè)根，故D錯(cuò)誤；
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷，函數(shù)解析式的求解及常用方法，其中畫出函數(shù)f（x）的圖象，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．