Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x+

2

x

+b（x≠0），f′（x）=1-

2

x2

，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'（2）=3，求出a的值，然后根據(jù)切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上求出b，從而求出函數(shù)的解析式．
（3）由函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，知

x+a

x+b

≤10，由a∈[

1

2

，2]，x∈[

1

4

，1]，知x+a＞0．當(dāng)x+b＜0時，

x+a

x+b

≤10恒成立，由此能求出b的取值范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=2時，f（x）=x+

2

x

+b（x≠0），
∴f′（x）=1-

2

x2

，
由f′（x）=1-

2

x2

≤0，x≠0，得-

2

≤x＜0，或0＜x≤

2

．
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為{x|-

2

≤x＜0，或0＜x≤

2

}．
（2）f′（x）=1-

a

x2

，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8．
由切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x-

8

x

+9．
（3）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

+b（x≠0），對于任意的a∈[

1

2

，2]，不等式f（x）≤10在[

1

4

，1]上恒成立，
∴

x+a

x+b

≤10，①
因?yàn)閍∈[

1

2

，2]，x∈[

1

4

，1]，
所以，a＞0，x＞0，從而得到x+a＞0．
當(dāng)x+b＜0時，

x+a

x+b

≤10恒成立，
∴b＜-x∈[-1，-1/4]恒成立，∴b＜x_min=-1，即b＜-1．②
當(dāng)x+b＞0時，由①得：x+a≤10x+10b，10b≥a-9x  
∴

x≥ 1 4 x≤1 a≥ 1 2 a≤1

，此時就變成了一個線性規(guī)劃問題，把a(bǔ)當(dāng)作y，也就是a作為縱坐標(biāo)，
 目標(biāo)函數(shù)為：z=y-9x，
10b≥Z恒成立，也就是左邊的10b比右邊的最大值還要大．
可行域?yàn)榫匦危�最�?yōu)解為A（

1

4

，1），C（1，

1

2

），
Z_A=1-

9

4

=-

5

4

，
Z_C=1-

9

2

=-

7

2

，
∴Z_max=-

5

4

，
10b≥-

5

4

，
b≥-

1

8

，③
又因?yàn)閎＞-x∈[-1，-

1

4

]恒成立，∴b＞-

1

4

，④
將③④取交集得：b＞-

1

8

．
綜上所述，b∈（-∞，-1）∪（-

1

8

，+∞）．

點(diǎn)評：本題考查函數(shù)的減區(qū)間的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．