Question

14．若AB為過橢圓$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的中心的弦，F(xiàn)₁為橢圓的左焦點，則△F₁AB面積的最大值12．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)過橢圓中心O的直線為y軸上時，△F₁AB面積的最大，由此求得△F₁AB面積的最大值．

解答 解：如圖，

由圖可知，當(dāng)過橢圓中心O的直線為y軸上時，△F₁AB面積的最大，
由$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，得a=5，b=4，則c=3．
∴${S}_{△A{F}_{1}B}={S}_{△O{F}_{1}B}+{S}_{△O{F}_{1}A}$=$\frac{1}{2}|O{F}_{1}|（|OA|+|OB|）=\frac{1}{2}×3×8=12$．
故答案為：12．

點評 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．