Question

1．已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，點(diǎn)E為棱AA₁的中點(diǎn)，則異面直線B₁D₁與DE所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）

Answer 1

分析 以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出異面直線B₁D₁與DE所成角的大�。�

解答 解以A為原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AA₁為z軸，建立空是直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，
則B₁（2，0，2），D₁（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，-2，1），
設(shè)異面直線B₁D₁與DE所成角為θ，
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}•\overrightarrow{DE}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}{D}_{1}}|•|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{4}{2\sqrt{2}•\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴θ=arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
∴異面直線B₁D₁與DE所成角的大小是arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：arccos$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．