Question

已知函數(shù)的定義域為，且的圖象連續(xù)不間斷. 若函數(shù)滿足：對于給定的（且），存在，使得，則稱具有性質(zhì).
（1）已知函數(shù)，，判斷是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）已知函數(shù) 若具有性質(zhì)，求的最大值；
（3）若函數(shù)的定義域為，且的圖象連續(xù)不間斷，又滿足，
求證：對任意且，函數(shù)具有性質(zhì).

Answer 1

（1）具有該性質(zhì),證明見解析;（2）;（3）證明見解析.

試題分析：（1）創(chuàng)新定義問題,首先要讀懂具有性質(zhì)P(m)的意思, 對于給定的（且），存在，使得，按照此定義進行判斷,假設(shè)具有該性質(zhì), 設(shè)，令,解得,滿足定義,故具有性質(zhì)P(3);（2）m在0到1之間,取一半,看是
具有性質(zhì)P(),如果有,再判斷是否有大于的m,沒有的話,最大值就是;（3）構(gòu)造函數(shù)，則,……=-,相加,有,分里面有零和沒零進行討論,得到結(jié)論.
試題解析：（1）設(shè)，即
令, 則
解得,
所以函數(shù)具有性質(zhì)
（2）m的最大值為.
首先當(dāng)時，取,
則，,
所以函數(shù)具有性質(zhì),
假設(shè)存在，使得函數(shù)具有性質(zhì), 
則,
當(dāng)時，，，,
當(dāng)時，，，,
所以不存在，使得,
故的最大值為.  
（3）任取,
設(shè)，其中,
則有,
,
,
……
,
……
,
以上各式相加得：,
當(dāng)中有一個為時，不妨設(shè)為，
即,
則函數(shù)具有性質(zhì),
當(dāng)均不為時，由于其和為，則必然存在正數(shù)和負數(shù)，
不妨設(shè)其中，,
由于是連續(xù)的，所以當(dāng)時，至少存在一個,
（當(dāng)時，至少存在一個）,
使得，
即,
故函數(shù)具有性質(zhì).