Question

1．已知a＞0關(guān)于x的二項(xiàng)式（$\sqrt{x}$+$\frac{a}{\root{3}{x}}$）ⁿ展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，常數(shù)項(xiàng)為80，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和=243．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，有2ⁿ=32，可得n=5，進(jìn)而可得其展開式為T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，分析可得其常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即C₅³•（a）³，依題意，可得C₅³•（a）³=80，解可得a的值，再令x=1，即可得到所求值．

解答 解：根據(jù)題意，該二項(xiàng)式的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，
則有2ⁿ=32，
可得n=5，
則二項(xiàng)式的展開式為T_r+1=C₅^r•（$\sqrt{x}$）^5-r•（$\frac{a}{\root{3}{x}}$）^r，
其常數(shù)項(xiàng)為第4項(xiàng)，即C₅³•（a）³，
根據(jù)題意，有C₅³•（a）³=80，
解可得，a=2，
再令x=1時(shí)，
則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為3⁵=243．
故答案為：243．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，注意二項(xiàng)式的展開式通項(xiàng)公式的運(yùn)用，以及二項(xiàng)式系數(shù)和各項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系，屬于中檔題．