Question

給出定義：若m-＜x（其中m為整數(shù)），則m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)，記作{x}=m．下列關(guān)于函數(shù)f（x）=|x-{x}|的四個(gè)命題：
①函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)镽，值域?yàn)閇0，]；
②函數(shù)y=f（x）在[-，]上是增函數(shù)；
③函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1；
④函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=（k∈Z）對稱．
其中正確命題的序號是________．

Answer 1

①③④
分析：此題是新定義，首先理解好什么是“m叫做離實(shí)數(shù)x最近的整數(shù)”，然后根據(jù)函數(shù)f（x）=|x-{x}|的表達(dá)式畫出其圖象，就可以判斷出正確命題是①②④．
解答：①∵m-＜x（其中m為整數(shù)），
∴，∴0，
∴函數(shù)f（x）=|x-{x}|=|x-m|的值域?yàn)閇0，]．
②由定義知：當(dāng)時(shí)，m=-1，∴f（-）=|--（-1）|=；
當(dāng)時(shí)，m=0，∴f（x）=|x-0|=|x|，
故f（x）在上不是增函數(shù)，所以②不正確．
③由得，
∴{x+1}={x}+1=m+1，∴f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x），
所以函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1．
④由②可知：在時(shí)，f（x）=|x|關(guān)于y周對稱；
又由③可知：函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)，最小正周期為1，
∴函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=（k∈Z）對稱．
故答案為①③④．
點(diǎn)評：此題是新定義，綜合考查了函數(shù)的值域、單調(diào)性、周期性及對稱性．理解好新定義的含義及畫出函數(shù)f（x）=|x-{x}|的圖象是做好本題的關(guān)鍵．