Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（a+b）=f（a）+f（b），且x＞0時(shí)，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求證f（x）是奇函數(shù)；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

（1）證明：∵f（a+b）=f（a）+f（b），
令a=-b，得f（0）=f（a）+f（-a）；
令a=b=0，得f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．
∴f（a）+f（-a）=0（a∈R）．
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數(shù)．
（2）解：設(shè)x₁＜x₂，x₁、x₂∈R，則x₂-x₁＞0，
∵x＞0時(shí)，f（x）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₂）＜f（x₁）．
∴函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減的．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值是f（-3），最小值是f（3）．
∵f（1）=-2，
∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，
f（3）=f（2）+f（1）=-6，f（-3）=-f（3）=6．
∴f（x）在[-3，3]上的最大值為6，最小值為-6．
分析：（1）采用賦值法，令令a=b=0，得f（0）=0，再令a=-b，得f（a）+f（-a）=f（0）=0，從而f（-x）=-f（x）；
（2）利用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞減的，從而可求得f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)及其用，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，屬于中檔題．