Question

如圖所示，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，且其準(zhǔn)線與軸交于，以，為焦點(diǎn)，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個(gè)交點(diǎn)為P.

（1）當(dāng)時(shí)，求橢圓的方程；
（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得的三條邊的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù)？若存在，求出這樣的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：（1）依題意由拋物線方程容易得橢圓的方程，代入既得橢圓方程；（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由拋物線和橢圓方程求交點(diǎn)P，使得，求得.
試題解析：（1）拋物線的焦點(diǎn)為,            1分
橢圓的半焦距，離心率，所以橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，短半軸長(zhǎng)，3分
所以橢圓的方程為,　                            4分
當(dāng)時(shí)，橢圓的方程.                              6分
（2）假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)由，解得, 8分
，，,                    11分
所以的三條邊的邊長(zhǎng)分別是，，
所以當(dāng)時(shí)使得的三條邊的邊長(zhǎng)是連續(xù)的自然數(shù).                13分