Question

將一副三角板如圖(1)拼好,其中AB=AC=2a,∠BAC=∠BCD=90°,∠CBD=30°.若將ABC沿BC折起,使二面角A-BC-D為直二面角,如圖(2).

(1)求證:AB⊥平面ACD;

(2)求二面角ABDC的大小;

(3)求點C到平面ABD的距離.

Answer 1

(1)證明:由CD⊥BC及二面角A-BC-D為直二面角,得CD⊥面ABC,∴CD⊥AB,AB⊥AC,∴AB⊥平面ACD.

(2)解:如圖,取BC中點E,則AE⊥平面BCD.作EF⊥BD,垂足為F,連結(jié)AF,則BD⊥AF,∠AFE即二面角ABDC的平面角.由AB=AC=2a,∴BC=a.∴AE=a.∴EF=BE=

a.∴tan∠AFE=2.∴二面角A-BD-C的大小為arctan2.

(3)解法一:(直接法)作EG⊥AF,垂足為G,由(2)知,BD⊥平面AEF,∴BD⊥GE.∴GE⊥平面ABD.∴GE的長即點E到平面ABD的距離,又E為BC的中點,∴點C到平面ABD的距離等于2GE.由GE×AF=AE×EF,得GE=,∴所求距離為.

解法二:(等體積法)∵V_C—ABD=V_A—BCD,可得點C到平面ABD的距離為.