Question

(本題滿分14分)

如圖1，直角梯形中, 四邊形是正方形,,.將正方形沿折起，得到如圖２所示的多面體,其中面面,是中點．

(1) 證明：∥平面；

(2) 求三棱錐的體積.

圖１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　圖２

 

Answer 1

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，作出輔助線MN，N為中點，在中，利用中位線得到，且，結(jié)合已知條件，可證出四邊形ABMN為平行四邊形，所以，利用線面平行的判定，得∥平面；第二問，利用面面垂直的性質(zhì)，判斷面，再利用已知的邊長，可證出，則利用線面垂直的判定得平面BDE，再利用面面垂直的判定得平面平面，所以作，則利用面面垂直的性質(zhì)，可得平面，則為三棱錐的高，再利用三棱錐的體積公式求體積即可.

(1)證明：取中點，連結(jié)．

在△中，分別為的中點，所以∥ ．由已知∥，，所以∥，且．所以四邊形為平行四邊形，所以∥． ３分

又因為平面，且平面，

所以∥平面． 4分

（２）面面，面，

面面，，面

又面， 6分

梯形中，,，,

所以，, ,

,所以, 平面 8分

又平面,所以，平面平面　

作,則平面，是所求三棱錐高 10分

在直角三角形中，由面積關(guān)系可得，又

所以， 14分

另【解析】
∥,面,面,∥平面,

兩點到平面距離相等 7分

因為翻折后垂直關(guān)系不變，所以平面,是三棱錐高 9分

面面，面，面面，，面，, 是直角三角形 11分

　 14分

考點：中位線、平行四邊形的證明、線面平行、線面垂直、面面垂直、三棱錐的體積.