Question

甲、乙、丙三人進行象棋比賽，每兩人比賽一場，共賽三場．每場比賽勝者得3分，負者得0分，沒有平局，在每一場比賽中，甲勝乙的概率為，甲勝丙的概率為，乙勝丙的概率為．
（1）求甲獲第一名且丙獲第二名的概率；
（2）設在該次比賽中，甲得分為ξ，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）甲獲第一表示甲勝乙且甲勝丙，這兩個事件是相互獨立事件，根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結果．丙獲第表示丙勝乙，根據對立事件的概率知概率，甲獲第一名且丙獲第二名的概率根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率得到結果．
（2）由題意知ξ可能取的值為O、3、6，結合變量對應的事件，根據相互獨立事件同時發(fā)生的概率和互斥事件的概率公式，寫出變量的概率，寫出分布列和期望．
解答：解：（1）甲獲第一，則甲勝乙且甲勝丙，
∴甲獲第一的概率為
丙獲第二，則丙勝乙，其概率為
∴甲獲第一名且丙獲第二名的概率為
（2）ξ可能取的值為O、3、6
甲兩場比賽皆輸的概率為P（ξ=0）=
甲兩場只勝一場的概率為
甲兩場皆勝的概率為
∴ξ的分布列是

∴ξ的期望值是Eξ=+=
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查相互獨立事件同時發(fā)生的概率，考查互斥事件的概率和對立事件的概率，本題是一個近幾年經常出現的一個問題，考的機會非常大．