Question

13．方程lgx+x-3=0一定有解的區(qū)間是（　�。�

• A． （2，3）
• B． （1，2）
• C． （0，1）
• D． （3，4）

Answer 1

分析 方法一：在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象．它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀，顯然在區(qū)間（1，3）內(nèi)，由于畫(huà)圖精確性的限制，單憑直觀就比較困難了．實(shí)際上這是要比較x₀與2的大小．當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此x₀＞2，從而得到答案．
方法二：利用根的存在性定理進(jìn)行判斷即可．

解答 解：方法一：lgx+x-3=0可化為：lgx=-x+3，
在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫(huà)出函數(shù)y=lgx與y=-x+3的圖象．
它們的交點(diǎn)橫坐標(biāo)x₀．
當(dāng)x=2時(shí)，lgx=lg2，3-x=1．
∵lg2＜1=lg10，
∴x₀＞2，
從而判定x₀∈（2，3）．
方法二：因?yàn)閒（2）=lg2+2-3=lg2-1=lg2-lg10＜0，
f（3）=lg3+3-3=lg3＞0，
所以根據(jù)根的存在性定理可知，函數(shù)f（x）在區(qū)間（2，3）內(nèi)存在零點(diǎn)，
所以方程lgx+x-3=的根x₀所在的區(qū)間為（2，3）．
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，考查通過(guò)構(gòu)造函數(shù)用數(shù)形結(jié)合法求方程lgx+x-3=0解所在的區(qū)間．?dāng)?shù)形結(jié)合，要在結(jié)合方面下功夫．不僅要通過(guò)圖象直觀估計(jì)，而且還要計(jì)算x₀的鄰近兩個(gè)函數(shù)值，通過(guò)比較其大小進(jìn)行判斷．