Question

5．過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且傾斜角為$\frac{π}{4}$的直線與拋物線交于A，B兩點，若弦AB的垂直平分線經(jīng)過點（0，2），則p等于$\frac{4}{5}$．

Answer 1

分析 寫出AB的點斜式方程，與拋物線方程聯(lián)立消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系求出AB的中點坐標(biāo)，利用直線垂直與斜率的關(guān)系列方程解出p．

解答 解：F（$\frac{p}{2}$，0），∴直線AB的方程為：y=x-$\frac{p}{2}$．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得：x²-3px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0，
設(shè)AB的中點坐標(biāo)為（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{3p}{2}$，y₀=x₀-$\frac{p}{2}$=p．
∴AB的垂直平分線經(jīng)過點（0，2），∴$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}}$=-1，即$\frac{p-2}{\frac{3p}{2}}$=-1．
解得p=$\frac{4}{5}$．
故答案為：$\frac{4}{5}$．

點評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系，屬于中檔題．