Question

函數(shù)y=

1

2

sin2x+sin2x，x∈R的值域是

 

．

Answer 1

分析：利用二倍角公式的變形，以及兩角和差的三角公式，把函數(shù)解析式化為關于某個角的正弦和一個常數(shù)的代數(shù)和形式，再利用正弦函數(shù)的值域求出此函數(shù)的值域．

解答：解：∵函數(shù)y=

1

2

sin2x+sin2x=

1

2

 sin2x+

1-cos2x

2

=

1

2

+

2

2

（

2

2

sin2x+

2

2

cos2x）
=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

），∵-1≤sin（2x-

π

4

）≤1，∴-

2

2

≤

2

2

sin（2x-

π

4

）≤

2

2

，
∴

1

2

-

2

2

≤y≤

1

2

+

2

2

，
故函數(shù)的值域為  [-

2

2

+

1

2

，

2

2

+

1

2

]，
故答案為 [-

2

2

+

1

2

，

2

2

+

1

2

]．

點評：本題考查兩角和差的三角公式、二倍角公式的變形的應用，以及正弦函數(shù)的值域．