Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)M、N分別在線段AB₁、BC₁上，且AM=BN．以下結(jié)論：①AA₁⊥MN；②A₁C₁
∥MN；③MN∥平面A₁B₁C₁D₁；④MN與A₁C₁異面，其中有可能 成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)為

1. A.
   4
2. B.
   3
3. C.
   2
4. D.
   1

Answer 1

A
分析：根據(jù)題意，分析命題：首先利用點(diǎn)M∈AB₁，N∈BC₁，M，N可以是這兩條直線上的任意的點(diǎn)，取特殊位置，得出②④兩個(gè)結(jié)論可能成立，做出輔助線作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，得到①③兩個(gè)命題是正確的．
解答：當(dāng)M為A，N為B，得出④可能成立；
當(dāng)M為AB₁的中點(diǎn)，N為BC₁的中點(diǎn)，得出②可能成立；
作MM′⊥A₁B₁于M′，作NN′⊥B₁C₁于N′，
易證|MM′|=|NN′|，MM′∥NN′
∴MN∥M′N′，
由此知①③正確．
有可能 成立的結(jié)論的個(gè)數(shù)為4．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征，考查選擇題的特殊解法和判斷一個(gè)命題是否正確，若是錯(cuò)誤的只要用反例來得到錯(cuò)誤即可，不用證明．