Question

13．已知點(diǎn)A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為△AF₁F₂的內(nèi)心，若S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=4S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$，則橢圓的離心率為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)△AF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，則S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r×（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|）=（a+c）r，S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r|{F}_{1}{F}_{2}|$=cr，由此能求出橢圓的離心率．

解答 解：∵A是橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為橢圓的左、右焦點(diǎn)，
點(diǎn)P為△AF₁F₂的內(nèi)心，S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=4S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$，
∴設(shè)△AF₁F₂的內(nèi)切圓半徑為r，
則S${\;}_{△A{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$r×（|AF₁|+|AF₂|+|F₁F₂|）=（a+c）r，S${\;}_{△{PF}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}r|{F}_{1}{F}_{2}|$=cr，
∴a+c=4c，∴a=3c，
∴橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}=\frac{c}{3c}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的離心率的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．