精英家教網(wǎng)已知PA⊥平面ABCD,PA=AB=AD=2,AC與BD交于E點,BD=2,BC=CD.
(1)取PD中點F,求證:PB∥平面AFC.
(2)求二面角A-PB-E的余弦值.
分析:(1)利用空間坐標系解.先以AC、AP分別為y、z軸,A為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,欲證PB∥平面ACF,只須證PB∥EF,分別求出向量的坐標后,結(jié)合向量的線性運算即可進行判斷.
(2)欲求二面角A-PB-E的余弦值,只須求出平面PAB、平面PBE的法向量的夾角,再結(jié)合圖形求其補角即得.
解答:精英家教網(wǎng)解:以AC、AP分別為y、z軸,A為原點,建立如圖所示空間直角坐標系,
∵PA=AB=AD=BD=2,BC=CD,
∴△ABC≌△ADC,
∴△ABD是等邊三角形,且E是BD中點,AC⊥BD,
則A(0,0,0)、B(1,
3
,0)
、D(-1,
3
,0)
、E(0,
3
,0)
、P(0,0,2)、F(-
1
2
3
2
,1)

(1)
PB
=(1,
3
,-2)、
FE
=(
1
2
,
3
2
,-1)

PB
=
1
2
FE
,
∴PB∥EF,
∴PB∥平面ACF.
(2)設(shè)平面PAB、平面PBE的法向量分別為
n
1
=(x1,y1,0)、
n
2
=(x2y2,-1)

n1
、
n2
的夾角的補角就是二面角A-PB-E的平面角.
AB
=(1,
3
,0)
PB
=(1,
3
,-2)
PE
=(0,
3
,-2)
,
n1
AB
=0
n2
PB
=0
n2
PE
=0

n1
=(-
3
,1,0)
,
n2
=(0,-
2
3
,-1)

cos?
n1
,
n2
>=
n1
n2
|
n1
|•|
n2
|
=-
7
7
,
∴二面角A-PB-E的余弦值為
7
7
點評:本題主要考查了異面直線及其所成的角,以及直線與平面平行的判定等知識,還考查了空間想象力、空間向量的運算.屬于基礎(chǔ)題.
練習(xí)冊系列答案
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2
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(1)求PD與平面PAC所成的角的大;
(2)求△PDB繞直線PA旋轉(zhuǎn)一周所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

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