Question

(本題滿分18分)本題共有3個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．
已知函數(shù)．
(1) 試說明函數(shù)的圖像是由函數(shù)的圖像經(jīng)過怎樣的變換得到的；
(2) (理科)若函數(shù)，試判斷函數(shù)的奇偶性，并用反證法證明函數(shù)的最小正周期是；
(3) 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．

Answer 1

解(1)∵
，     
∴．
∴函數(shù)的圖像可由的圖像按如下方式變換得到：
①將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像；
②將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像；
③將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．
(2)(理科)由(1)知，，
　∴．
又對任意，有，
　∴函數(shù)是偶函數(shù)．
　∵，
∴是周期函數(shù)，是它的一個周期．
現(xiàn)用反證法證明是函數(shù)的最小正周期。
反證法：假設(shè)不是函數(shù)的最小正周期，設(shè)是的最小正周期．
則，即．
令，得，兩邊平方后化簡，得，這與()矛盾．因此，假設(shè)不成立．
所以，函數(shù)的最小正周期是．
(3)(理科)先求函數(shù)在一個周期內(nèi)的單調(diào)區(qū)間和函數(shù)值的取值范圍。
當(dāng)時，，且．
易知，此時函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)減區(qū)間是；
函數(shù)的取值范圍是．
因此，依據(jù)周期函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是
；單調(diào)減區(qū)間是；
函數(shù)的值域是．

橫坐標(biāo)先放縮，再平移也可．即將函數(shù)的圖像上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)，再將函數(shù)的圖像向右平移個單位，得到函數(shù)的圖像，最后將函數(shù)的圖像上所有點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)，得到函數(shù)的圖像．