Question

已知正項等差數列a_n的前n項和為S_n，若S₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比數列．
（Ⅰ）求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設，記數列b_n的前n項和為T_n，求T_n．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵S₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，所以a₂=4．（1分）
又∵2a₁，a₂，a₃+1成等比數列，
∴a₂²=2a₁•（a₃+1），即a₂²=2（a₂-d）•（a₂+d+1），（3分）
解得，d=3或d=-4（舍去），
∴a₁=a₂-d=1，故a_n=3n-2．（6分）
（Ⅱ），
∴，①
①×得．②
①-②得=，（10分）
∴．（12分）
分析：（Ⅰ）先利用等差數列的性質以及S₃=12求出a₂=4；再代入2a₁，a₂，a₃+1成等比數列求出公差即可求{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）把（Ⅰ）的結論代入，直接利用數列求和的錯位相減法即可求T_n．
點評：本題的第二問考查了數列求和的錯位相減法．錯位相減法適用于通項為一等差數列乘一等比數列組成的新數列．