Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+x²（a為實(shí)常數(shù)）．
（1）當(dāng)a=-4時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）當(dāng)x∈[1，e]時(shí)，討論方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)．
（3）若a＞0，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=-4代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)把給出的定義[1，e]分段，判出在各段內(nèi)的單調(diào)性，從而求出函數(shù)在[1，e]上的最大值及相應(yīng)的x值；
（2）把原函數(shù)f（x）=alnx+x²求導(dǎo)，分a≥0和a＜0討論打哦函數(shù)的單調(diào)性，特別是當(dāng)a＜0時(shí)，求出函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值及端點(diǎn)處的函數(shù)值，然后根據(jù)最小值和F（e）的值的符號(hào)討論在x∈[1，e]時(shí)，方程f（x）=0根的個(gè)數(shù)；
（3）a＞0判出函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，在規(guī)定x₁＜x₂后把|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|轉(zhuǎn)化為f（x₂）+

1

x2

＜f（x₁）+

1

x1

，構(gòu)造輔助函數(shù)G（x）=f（x）+

1

x

，由該輔助函數(shù)是減函數(shù)得其導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，分離a后利用函數(shù)單調(diào)性求a的范圍．

解答：解：（1）當(dāng)a=-4時(shí)，f（x）=-4lnx+x²，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞）．
f′(x)=-

4

x

+2x=

2(x+ 2 )(x- 2 )

x

．
當(dāng)x∈[1，

2

)時(shí)，f′（x）0，
所以函數(shù)f（x）在[1，

2

)上為減函數(shù)，在(

2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=-4ln1+1²=1，f（e）=-4lne+e²=e²-4，
所以函數(shù)f（x）在[1，e]上的最大值為e²-4，相應(yīng)的x值為e；
（2）由f（x）=alnx+x²，得f′(x)=

a

x

+2x=

2x2+a

x

．
若a≥0，則在[1，e]上f′（x）＞0，函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若a＜0，由f′（x）=0，得x=-

- a 2

（舍），或x=

- a 2

．
若

- a 2

≤1，即-2≤a＜0，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0知，方程f（x）=0的根的個(gè)數(shù)是0；
若

- a 2

≥e，即a≤-2e²，f（x）=alnx+x²在[1，e]上為減函數(shù)，
由f（1）=1，f（e）=alne+e²=e²+a≤-e²＜0，
所以方程f（x）=0在[1，e]上有1個(gè)實(shí)數(shù)根；
若1＜

- a 2

＜e，即-2e²＜a＜-2，
f（x）在[1，

- a 2

]上為減函數(shù)，在[

- a 2

，e]上為增函數(shù)，
由f（1）=1＞0，f（e）=e²+a．
f(x)min=f(

- a 2

)=

a

2

ln(-

a

2

)-

a

2

=

a

2

[ln(-

a

2

)-1]．
當(dāng)-

a

2

＜e，即-2e＜a＜-2時(shí)，f(

- a 2

)＞0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是0．
當(dāng)a=-2e時(shí)，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1．
當(dāng)-e²≤a＜-2e時(shí)，f(

- a 2

)＜0，f（e）=a+e²≥0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是2．
當(dāng)-2e²＜a＜-e²時(shí)，f(

- a 2

)＜0，f（e）=a+e²＜0，方程f（x）=0在[1，e]上的根的個(gè)數(shù)是1；
（3）若a＞0，由（2）知函數(shù)f（x）=alnx+x²在[1，e]上為增函數(shù)，
不妨設(shè)x₁＜x₂，則|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|變?yōu)閒（x₂）+

1

x2

＜f（x₁）+

1

x1

，由此說(shuō)明函數(shù)G（x）=f（x）+

1

x

在[1，e]單調(diào)遞減，所以G′（x）=

a

x

+2x-

1

x2

≤0對(duì)x∈[1，e]恒成立，即a≤-2x2+

1

x

對(duì)x∈[1，e]恒成立，
而-2x2+

1

x

在[1，e]單調(diào)遞減，所以a≤-2e2+

1

e

．
所以，滿足a＞0，且對(duì)任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有|f(x1)-f(x2)|≤|

1

x1

-

1

x2

|成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍不存在．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上的最值，考查了根的存在性及根的個(gè)數(shù)的判斷，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了構(gòu)造函數(shù)求變量的取值范圍，此題是有一定難度題目．