Question

已知圓，圓．
（1）試判斷兩圓的位置關(guān)系；
（2）直線ι過點(diǎn)（6，3）與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=，求直線ι的方程．

Answer 1

解：（1）由于 圓，即 （x-2）²+（y-1）²=10，表示以C₁（2，1）為圓心，
半徑等于的圓．
，即 （x+1）²+（y-1）²=16，表示以C₂（-1，1）為圓心，半徑等于4的圓．
由于兩圓的圓心距等于=3，大于半徑之差而小于半徑之和，故兩個圓相交．
（2）直線ι過點(diǎn)（6，3）與圓C₁相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=，當(dāng)AB的斜率不存在時，直線ι的方程為x=6，
此時直線t與圓C₁相離，不滿足條件．
當(dāng)AB的斜率不存在時，設(shè)直線ι的方程為y-3=k（x-6），即 kx-y+3-6k=0，
由弦長公式可得圓心到直線t的距離d==2，
再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d=2=，解得 k=0，或 k=．
故直線t的方程為 y=3或x-y-5=0．
分析：（1）把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心和半徑，根據(jù)兩圓的圓心距等于3，大于半徑之差而小于半徑之和，可得兩個圓相交．
（2）分直線t的斜率不存在時，經(jīng)過檢驗不滿足條件．當(dāng)斜率存在時，根據(jù)弦長AB=2，求出弦心距d，再由點(diǎn)到直線的距離公式可得d，由此求得斜率的值，即可得到直線t的方程．
點(diǎn)評：本題主要考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式、弦長公式的應(yīng)用，屬于中檔題．