Question

16．設(shè)定義域為R₊的函數(shù)f（x），對任意的正實數(shù)x，y，都有f（xy）=f（x）+f（y），且當x＞1時有f（x）＞0．
①求f（1）的值；
②判斷f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性，并證明．
③若f（$\frac{1}{a}$）=-1，求滿足不等式f（1-x）＜1的x的取值范圍．

Answer 1

分析 ①令x=y=1即可得出f（1）；
②設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），使用作差法判斷f（x₁）-f（x₂）的符號即可得出結(jié)論；
③移項得f（1-x）-1＜0，即f（1-x）+f（$\frac{1}{a}$）＜0，故f（$\frac{1-x}{a}$）＜f（1），利用函數(shù)的單調(diào)性列出不等式組解出x的范圍．

解答 解：①令x=y=1得f（1）=f（1）+f（1）=2f（1），
∴f（1）=0，
②設(shè)x₁＞x₂＞0，則f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1，∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
③∵f（$\frac{1}{a}$）=-1，f（1-x）＜1，
∴f（1-x）-1＜0，即f（1-x）+f（$\frac{1}{a}$）＜0，
∴f（$\frac{1-x}{a}$）＜f（1），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1-x}{a}＜1}\\{\frac{1-x}{a}＞0}\\{\frac{1}{a}＞0}\end{array}\right.$，解得1-a＜x＜1．

點評 本題考查了抽象函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，屬于中檔題．