Question

11．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-2ax，x∈R．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（2）在（1）的條件下，求證：f（x）＞0；
（3）當(dāng)a$＞\frac{1}{2}$時(shí)，求函數(shù)f（x）在[0，2a]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出當(dāng)a=2時(shí)的f（x），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，極小值也為最小值，判斷它大于0，即可得證；
（Ⅲ）求出導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)為0，可得極值點(diǎn)x=lna，比較a與lna的大小，再求得f（0），f（a）作差比較，即可得到最大值．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=e^x-2x，
f（0）=1，故切點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），
f′（x）=e^x-2，
故切線的斜率k=f′（0）=-1，
∴切線的方程為：y-1=-x，即x+y-1=0，
（2）在（1）的條件下，令f′（x）=0，則x=ln2，
當(dāng)x＜ln2時(shí)，f′（x）＜0，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；
當(dāng)x＞ln2時(shí)，f′（x）＞0，此時(shí)函數(shù)為增函數(shù)；
故當(dāng)x=ln2時(shí)，函數(shù)取最小值2-2ln2，
∵2-2ln2＞0，
故f（x）＞0恒成立；
（3）由于f（x）=e^x-2ax，f′（x）=e^x-2a，
令f′（x）=0，解得x=ln2a＞0，
當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$，令M（a）=2a-ln2a，M′（a）=2-$\frac{1}{a}$=$\frac{2a-1}{a}$＞0，
∴M（a）在（$\frac{1}{2}$，+∞）遞增，
又∵M(jìn)（$\frac{1}{2}$）=1-ln1=1，
∴M（a）=2a-ln2a＞0恒成立，
即有a＞$\frac{1}{2}$，2a＞ln2a，
∴當(dāng)0≤x＜ln2a時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，
ln2a＜x≤2a時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增．
即有x=ln2a處f（x）取得最小值2a（1-ln2a）；
又∵f（0）=e⁰-0=1，f（2a）=e^2a-4a²，
令h（a）=f（2a）-f（0）=e^2a-4a²-1，
a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，h′（a）=2e^2a-8a＞0，
h（$\frac{1}{2}$）=e-1-1=e-2＞0，h（a）=e^2a-4a²-1＞0，
∴當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（2a）＞f（0），
則有當(dāng)a＞$\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）在[0，2a]上的最大值e^2a-4a²

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，同時(shí)考查構(gòu)造函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)而判斷大小，考查運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題