Question

9．已知a，b，c∈R⁺，求證：$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c．

Answer 1

分析 運用均值不等式：a+b≥2$\sqrt{ab}$（a=b取得等號），再由不等式的可加性，即可得證．

解答 證明：由a，b，c∈R⁺，可得
$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}$≥2$\sqrt{\frac{bc}{a}•\frac{ac}}$=2c，
$\frac{ac}$+$\frac{ab}{c}$≥2$\sqrt{\frac{ac}•\frac{ab}{c}}$=2a，
$\frac{bc}{a}$+$\frac{ab}{c}$≥2$\sqrt{\frac{bc}{a}•\frac{ab}{c}}$=2b，
相加可得，2（$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}$+$\frac{ab}{c}$）≥2c+2a+2b，
即為$\frac{bc}{a}$+$\frac{ac}$+$\frac{ab}{c}$≥a+b+c，
當且僅當a=b=c取得等號．

點評 本題考查不等式的證明，注意運用均值不等式，以及不等式的可加性，考查推理能力，屬于中檔題．