Question

【題目】已知拋物線，焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，則的最小值為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣），（k≠0）．與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，利用|AF|+4|BF|=x1++2（x2+）及其基本不等式的性質(zhì)即可得出，當直線AB的斜率不存在時，直接求出即可．

詳解：F（，0），

設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．

當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣），（k≠0）．

聯(lián)立 ，化為k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．

x1x2=．

∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，當且僅當x1=2x2=時取等號．

當直線AB的斜率不存在時，|AF|+2|BF|=3p=3．

綜上可得：|AF|+2|BF|的最小值為：．

故答案為：．