Question

【題目】已知f（x）=x2﹣ax+lnx，a∈R．
（1）當a=3時，求函數(shù)f（x）的極小值；
（2）令g（x）=x2﹣f（x），是否存在實數(shù)a，當x∈[1，e]（e是自然對數(shù)的底數(shù)）時，函數(shù)g（x）取得最小值為1．若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題可知，f（x）=x2﹣3x+lnx，所以

令f'（x）=0，得 或x=1

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜ ，或x＞1，

令f′（x）＜0，解得： ＜x＜1，

所以f（x）在 ，（1，+∞）單調(diào)遞增，在 上單調(diào)遞減

所以f（x）的極小值是f（1）=﹣2

（2）解：由題知，g（x）=ax﹣lnx，所以

①當a≤0時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，

解得： （舍去）

②當 時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，g（x）min=g（e）=ae﹣1=1，

解得： （舍去）

③當 時，g（x）在 上單調(diào)遞減，在 上單調(diào)遞增， ，

解得：a=1（舍去）

④當a≥1時，g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，g（x）min=g（1）=a=1，

解得：a=1

綜合所述：當a=1時，g（x）在[1，e]上有最小值1

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）求出函數(shù)g（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而確定a的范圍即可．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的極值與導數(shù)的理解，了解求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．