Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁，∠BAA₁=60°．
（Ⅰ）證明AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B，由已知可證OA₁⊥AB，AB⊥平面OA₁C，進(jìn)而可得AB⊥A₁C；
（Ⅱ）易證OA，OA₁，OC兩兩垂直．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

的方向?yàn)閤軸的正向，|

OA

|為單位長(zhǎng)，建立坐標(biāo)系，可得

BC

，

BB1

，

A1C

的坐標(biāo)，設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，則

n • BC =0 n • BB1 =0

，可解得

n

=（

3

，1，-1），可求cos＜

n

，

A1C

＞，即為所求正弦值．

解答：解：（Ⅰ）取AB的中點(diǎn)O，連接OC，OA₁，A₁B，
因?yàn)镃A=CB，所以O(shè)C⊥AB，由于AB=AA₁，∠BAA₁=60°，
所以△AA₁B為等邊三角形，所以O(shè)A₁⊥AB，
又因?yàn)镺C∩OA₁=O，所以AB⊥平面OA₁C，
又A₁C?平面OA₁C，故AB⊥A₁C；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA₁⊥AB，又平面ABC⊥平面AA₁B₁B，交線為AB，
所以O(shè)C⊥平面AA₁B₁B，故OA，OA₁，OC兩兩垂直．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

的方向?yàn)閤軸的正向，|

OA

|為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的坐標(biāo)系，
可得A（1，0，0），A₁（0，

3

，0），C（0，0，

3

），B（-1，0，0），
則

BC

=（1，0，

3

），

BB1

=

AA1

=（-1，

3

，0），

A1C

=（0，-

3

，

3

），
設(shè)

n

=（x，y，z）為平面BB₁C₁C的法向量，則

n • BC =0 n • BB1 =0

，即

x+ 3 z=0 -x+ 3 y=0

，
可取y=1，可得

n

=（

3

，1，-1），故cos＜

n

，

A1C

＞=

n • A1C

| n || A1C |

=-

10

5

，
故直線A₁C與平面BB₁C₁C所成角的正弦值為：

10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成的角，涉及直線與平面垂直的性質(zhì)和平面與平面垂直的判定，屬難題．