Question

對于函數(shù)y=f（x），我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)y=f（x）的零點，且有如下零點存在定理：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f（a）•f（b＜0，那么，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)有零點．給出下列命題：
①若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，則f（x）有且僅有一個零點；
②函數(shù)f（x）=2x³-3x+1有3個零點；
③函數(shù)y=和y=|log₂x|的圖象的交點有且只有一個；
④設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點的和為18；
其中所有正確命題的序號為________．（把所有正確命題的序號都填上）

Answer 1

②④
分析：①可通過舉指數(shù)函數(shù)的例子來說明此命題是錯誤的；
②可研究函數(shù)的極值結(jié)合單調(diào)性判斷出函數(shù)的圖象與X軸的交點個數(shù)從而得出零點個數(shù)，即可判斷命題的真假；
③構(gòu)造函數(shù)f（x）=-|log₂x|，通過零點存在定理研究函數(shù)有幾個零點，即可得出兩函數(shù)有幾個交點；
④函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得出函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對稱，由對稱性即可判斷出命題的真假．
解答：①若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)，則f（x）有且僅有一個零點是錯誤的，譬如y=2^x，是單調(diào)函數(shù)，有反函數(shù)，但其函數(shù)值恒大于0，無零點；
②函數(shù)f（x）=2x³-3x+1有3個零點正確；由于f′（x）=6x²-3，可解得函數(shù)f（x）=2x³-3x+1在區(qū)間（-∞，-）與（，+∞）上是增函數(shù)，在（-，）是減函數(shù)，故函數(shù)存在極大值f（-）＞0，極小值f（）＜0，故函數(shù)有三個零點；
③函數(shù)y=和y=|log₂x|的圖象的交點有且只有一個是錯誤的，可利用存在零點的條件f（a）f（b）＜0來解決這個問題，兩函數(shù)圖象的交點的橫坐標(biāo)就是函數(shù)f（x）=-|log₂x|的零點，
其中f（1）=＞0，f（2）=-＜0，f（4）=＞0，所以在直線x=1右側(cè)，函數(shù)有兩個零點．一個在（1，2）內(nèi)，一個在（2，4）內(nèi)，故函數(shù)f（x）=-|log₂x|共有3個零點，即函數(shù)y=和y=|log₂x|的圖象有3個交點．
④設(shè)函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），且函數(shù)f（x）恰有6個不同的零點，則這6個零點的和為18是正確的，由函數(shù)f（x）對x∈R都滿足f（3+x）=f（3-x），可得函數(shù)的圖象關(guān)于x=3對稱，又函數(shù)f（x）恰有6個不同的零點，此6個零點構(gòu)成三組關(guān)于x=3對稱的點，由中點坐標(biāo)公式可得出這6個零點的和為18．
故答案為②④
點評：本題考查命題的真假判斷及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點，利用零點存在定理判斷零點的個數(shù)，函數(shù)圖象的對稱性，涉及到的知識點較多，綜合性強，屬于基礎(chǔ)知識與技巧訓(xùn)練題，解答時要嚴(yán)謹認真，全面掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識是迅速解題的保證