Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=-

1

2

，a_n+1=2a_n+n-1，n∈N^*．
（1）證明數(shù)列{a_n+n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項和s_n；
（3）比較S_n+1與2Sn（n∈N^*）的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）通過數(shù)列的遞推關(guān)系式，構(gòu)造新數(shù)列，即可證得等比數(shù)列；
（2）確定數(shù)列的通項公式，利用分組求和，即可求得結(jié)論；
（3）作差，分類討論，確定正負(fù)，即可得到結(jié)論．

解答：（1）證明：因為a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），所以a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）（n∈N^*），
所以數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

為首項，2為公比的等比數(shù)列；
（2）解：∵數(shù)列{a_n+n}是以a₁+1=

1

2

為首項，2為公比的等比數(shù)列
∴a_n+n=

1

2

×2^n-1=2^n-2，即a_n=2^n-2-n，
∴數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=

1 2 (1-2n)

1-2

-

n(1+n)

2

=2n-1-

n(1+n)

2

-

1

2

；
（3）解：對任意的n∈N^*，S_n+1-2S_n=2n-

(2+n)(1+n)

2

-

1

2

-2[2n-1-

n(1+n)

2

-

1

2

]=

1

2

(n2-n-1)
當(dāng)n∈N^*時，

1

2

(n2-n-1)是增函數(shù)，
n=1時，

1

2

(n2-n-1)=-

1

2

＜0，即S_n+1-2S_n＜0，所以S_n+1＜2S_n；
n=2時，

1

2

(n2-n-1)=

1

2

＞0，即S_n+1-2S_n＞0，所以S_n+1＞2S_n；
n＞2時，

1

2

(n2-n-1)＞

1

2

＞0，即S_n+1-2S_n＞0，所以S_n+1＞2S_n；
綜上，當(dāng)n=1時，S_n+1＜2S_n；當(dāng)n≥2時，S_n+1＞2S_n．

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列遞推式，考查數(shù)列的通項與求和，考查大小比較，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．