Question

【題目】關于函數(shù),下列說法正確的是______（填上所有正確命題序號）.（1）是的極大值點 ；（2）函數(shù)有且只有1個零點；（3）存在正實數(shù)，使得恒成立 ；（4）對任意兩個正實數(shù)，且，若，則.

Answer 1

【答案】（2）（4）

【解析】

利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與極值（最值），即可判定（1）（4），構造新函數(shù)，求得新函數(shù)的單調性，即可判定（2），由，可得，令，取得函數(shù)的的單調性與最值，即可判定（3），得到答案..

由題意，函數(shù)，則，

可得函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

所以當時，函數(shù)取得極小值，所以（1）不正確；

由函數(shù)，所以，

可得函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，

當時，，當時，，所以函數(shù)有且只有1個零點，所以（2）正確；

由，可得，令，則，

令，則，

所以當時，單調遞減，

當時，單調遞增，所以，所以 ，

所以在上單調遞減，函數(shù)無最小值，

所以不存在正整數(shù)，使得恒成立，所以（3）不正確；

對于任意兩正實數(shù)，且，

由（1）可知函數(shù)在區(qū)間上單調遞減，在區(qū)間上單調遞增，

若，則，所以（4）正確.

證明如下：不妨設 ，則，

由

令，則，

原式，則，

所以在上是減函數(shù)，

所以，所以，

又因為在上單調遞增，所以，故。