Question

4．已知拋物線C：y²=4x的焦點(diǎn)為F，直線AB過F點(diǎn)與拋物線C交拋物線于A、B兩點(diǎn)，且AB=6，若AB的垂直平分線交x軸于P點(diǎn)，則|OP|=（　�。�

• A． 3
• B． 4
• C． 5
• D． 6

Answer 1

分析 先根據(jù)拋物線方程求出p的值，再由拋物線的性質(zhì)求出AB的垂直平分線方程，可得到答案．

解答 解：∵拋物線y²=4x，∴p=2，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)F的直線y=k（x-1）與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線y=k（x-1）代入y²=4x，整理可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
∴x₁+x₂=2+$\frac{4}{{k}^{2}}$
利用拋物線定義，AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為x₁+x₂=|AB|-p=6-2=4．AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2
∴2+$\frac{4}{{k}^{2}}$=4，∴k=±$\sqrt{2}$
AB中點(diǎn)縱坐標(biāo)為k，AB的垂直平分線方程為y-k=-$\frac{1}{k}$（x-2），
令y=0，可得x=4，
∴|OP|=4．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了拋物線的性質(zhì)．屬中檔題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，確定AB的垂直平分線方程是關(guān)鍵．