Question

4．在數(shù)列{a_n}中，已知a_n+1-a_n=1，a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，記T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+（-1）²ⁿS_2n，求T_2n．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，可得S_2n-S_2n-1=2n，即可得出．

解答 解：（1）∵在數(shù)列{a_n}中，a_n+1-a_n=1，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為1．
∵a₂是a₁與a₄的等比中項(xiàng)，
∴${a}_{2}^{2}$=a₁•a₄，
∴$（{a}_{1}+1）^{2}$=a₁•（a₁+3），
化為a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）=n．
（2）由（1）可得：S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
∴S_2n-S_2n-1=$\frac{2n（2n+1）}{2}$-$\frac{（2n-1）（2n-1+1）}{2}$
=2n．
∴T_2n=-S₁+S₂-S₃+…+（-1）²ⁿS_2n=2（1+2+…+n）=$2×\frac{n（n+1）}{2}$=n²+n．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．