Question

16．已知函數(shù)f（x）=$|\begin{array}{l}{m}&{cos2x}\\{n}&{sin2x}\end{array}|$的圖象過點$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$和點$（\frac{2π}{3}，-2）$．
（1）求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜π）個單位后，得到函數(shù)y=g（x）的圖象；已知點P（0，5），若函數(shù)y=g（x）的圖象上存在點Q，使得|PQ|=3，求函數(shù)y=g（x）圖象的對稱中心．

Answer 1

分析 （1）利用條件求得m、n的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的最值．
（2）根據(jù)g（x）的解析式，點Q（0，2）在y=g（x）的圖象上，求得φ的值，再利用正弦函數(shù)的圖象的對稱性，得出結(jié)論．

解答 解：（1）易知f（x）=msin2x-ncos2x，則由它的圖象過點$（\frac{π}{12}，\sqrt{3}）$和點$（\frac{2π}{3}，-2）$，
可得$\left\{\begin{array}{l}msin\frac{π}{6}-ncos\frac{π}{6}=\sqrt{3}\\ msin\frac{4π}{3}-ncos\frac{4π}{3}=-2\end{array}\right.$，解得$m=\sqrt{3}\;，\;\;n=-1$．故$f（x）=\sqrt{3}sin2x+cos2x=2sin（2x+\frac{π}{6}）$．
故函數(shù)f（x）的最大值為2，最小值為-2．
（2）由（1）可知：$g（x）=f（x+φ）=2sin（2x+2φ+\frac{π}{6}）$．
于是，當且僅當Q（0，2）在y=g（x）的圖象上時滿足條件，∴$g（0）=2sin（2ϕ+\frac{π}{6}）=2$．由0＜ϕ＜π，得$φ=\frac{π}{6}$．
故$g（x）=2sin（2x+\frac{π}{2}）=2cos2x$．由$2x=kπ+\frac{π}{2}$，得$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}\;\;（k∈Z）$．
于是，函數(shù)y=g（x）圖象的對稱中心為：$（\frac{kπ}{2}+\frac{π}{4}，0）（k∈Z）$．

點評 本題主要考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的最值以及它的圖象的對稱性，屬于基礎題．