Question

正方形ABCD中，AB=2，E、F分別是邊AB及BC的中點，將△AED及△DCF折起（如圖），使A、C點重合于A′點．
（Ⅰ）證明A′D⊥EF；
（Ⅱ）求A′D與平面DEF所成角的正切值．

Answer 1

分析：（I）由正方形的幾何牲，我們易得AD⊥AB，DC⊥BC，即折起后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，由線面垂直的判定定理可得，A′D⊥面A′EF，再由線面垂直的性質(zhì)可得A′D⊥EF；
（Ⅱ）取EF中點G，連接A′G，DG，過A′做DG的垂線，交DG于H．根據(jù)等腰三角形三線合一，可得A′G⊥EF，GD⊥EF，則EF⊥面A′GD，進而可得A′H⊥面DEF，由二面角的平面角的定義，可得∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角，解△A′DG即可求出．

解答：證明：（I）∵ABCD是正方形
∴AD⊥AB，DC⊥BC，
即AD⊥AE，DC⊥CF，折起后，即A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
∴A′D⊥面A′EF
∴A′D⊥EF
證明：（II）取EF中點G，連接A′G，DG，過A′做DG的垂線，交DG于H．
∵G是中點，且A′E=A′F=1，DE=DF=

5

∴A′G⊥EF，GD⊥EF
∴EF⊥面A′GD，
∴EF⊥A′H
又因為A′H⊥DG   所以A′H⊥面DEF
所以∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角，
又因為A′D⊥面A′EF，所以A′D⊥A′G
所以tan∠A′DG=

A′G

A′D

，
由題意可知，A′G=

2

2

，A′D=2，
所以tan∠A′DG=

2

4

已知a∈R，設函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+ax．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的解，直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，其中（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直與線面垂直的之間的相互轉(zhuǎn)化關系，（2）的關鍵是求得∠A′DG即所求的A′D與平面DEF所成角．