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5.如圖,在三棱錐S-ABC中,底面ABC為直角三角形,且∠ABC=90°,SA⊥底面ABC,且SA=AB,點M是SB的中點,AN⊥SC且交SC于點N.
(1)求證:SC⊥平面AMN;
(2)當AB=BC時,求二面角N-MA-C的余弦值.

分析 (1)推導出BC⊥SA,BC⊥AB,從而BC⊥平面SAB,進而BC⊥AM,再由AM⊥SB,得AM⊥平面SBC,從而AM⊥SC,由AN⊥SC,能證明SC⊥平面AMN.
(2)法一:由AM⊥平面NCM,知平面NCM是二面角C-AM-N的平面角,由此能求出二面角N-MN-C的余弦值.
(2)法二:以A為坐標原點,AB為x軸,AS為z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,由此能求出二面角N-MN-C的余弦值.

解答 證明:(1)∵SA⊥底面ABC,∴BC⊥SA,
又∵底面ABC為直角三角形,且∠ABC=90°,∴BC⊥AB,
SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB,
∵AM?平面SAB,∴BC⊥AM,
∵SA=AB,點M是SB的中點,∴AM⊥SB,
∵SB∩BC=B,∴AM⊥平面SBC,
∵SC?平面SBC,∴AM⊥SC,
∵AN⊥SC且交SC于點N,AN∩AM=A,
∴SC⊥平面AMN.
解:(2)解法一:由(1)知AM⊥平面NCM,
∴平面NCM是二面角C-AM-N的平面角,
設SA=AB=BC=1,在Rt△SAB中,AM=BM=12SB=22
∴CM=BC2BM2=62,
在Rt△SAC中,SA=1,AC=2,SC=3,
AN=21×3=63,則CN=AC2AN2=233,
在Rt△CNM中,MN=CM2CN2=66cosCMN=MNCM=6662=13,
∴二面角N-MN-C的余弦值為13
(2)解法二:如圖,以A為坐標原點,AB為x軸,AS為z軸,建立空間直角坐標系A-xyz,
設AB=SA=1,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),S(0,0,1),M12012,
AM=12012AC=110,
設平面ACM的一個法向量為n=xyz
{nAC=0nAM=0,即{x+y=012x+12z=0,令z=1,可得n=111,
由(1)可知CS是平面AMN的法向量,且CS=111,
cos\left?{\overrightarrow{CS},\overrightarrow n}\right>=\frac{{\overrightarrow{CS}•\overrightarrow n}}{{|\overrightarrow{CS}||\overrightarrow n|}}=\frac{1}{3}
∴二面角N-MN-C的余弦值為13

點評 本題考查線面垂直的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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