Question

已知f（x）為一次函數(shù)，g（x）為二次函數(shù)，且f[g（x）]=g[f（x）]，求f（x）的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于f（x）為一次函數(shù)，g（x）為二次函數(shù)，可設(shè)f（x）=mx+n，g（x）=ax²+bx+c，m，a≠0．由于f[g（x）]=g[f（x）]，可得m（ax²+bx+c）+n=a（mx+n）²+b（mx+n）+c，化為（ma-am²）x²+（mb-2amn-bm）x+mc-an²-bn-c=0，得到

ma-am2=0 mb-2amn-bm=0 mc-an2-bn-c=0

，解得m，n即可．

解答： 解：∵f（x）為一次函數(shù)，g（x）為二次函數(shù)，
設(shè)f（x）=mx+n，g（x）=ax²+bx+c，m，a≠0．
∵f[g（x）]=g[f（x）]，
∴m（ax²+bx+c）+n=a（mx+n）²+b（mx+n）+c，
化為（ma-am²）x²+（mb-2amn-bm）x+mc-an²-bn-c=0，
∴

ma-am2=0 mb-2amn-bm=0 mc-an2-bn-c=0

，解得m=1，n=0．
∴f（x）=x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、恒等式問(wèn)題，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．