Question

若當(dāng)x∈（-1，+∞）時(shí)，k（x+1）＜|x+k+2|-1（k∈R）恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：對(duì)k+1的正負(fù)進(jìn)行分類討論，但k+1≥0時(shí)直接把絕對(duì)值去掉即可；當(dāng)k+1＜0時(shí)根據(jù)圖象數(shù)形結(jié)合．

解答： 解：要使x∈（-1，+∞）時(shí)，k（x+1）＜|x+k+2|-1（k∈R）恒成立
（1）當(dāng)k+1≥0時(shí)，x+k+2≥0，
故命題化為：kx+k＜x+k+2-1，即kx＜x+1對(duì)x∈（-1，+∞）時(shí)恒成立，只要0≤k≤1即可如圖（1）．

            圖（1）
（2）當(dāng)k+1＜0時(shí)，∵x∈（-1，+∞）時(shí)，∴x+1＞0，令t=x+1，則t∈（0，+∞）
故命題化為：kt＜|t+k+1|-1，對(duì)t∈（0，+∞）恒成立，再用x表示t
則命題化為：kx+1＜|x+k+1|，對(duì)x∈（0，+∞）恒成立，只要x∈（0，+∞）時(shí)，y=kx+1在y=|x+k+1|的上方
即可，如圖（2）．只要-k-1≥1即可，∴k≤-2


          圖（2）
綜上，k的取值范圍是（-∞，-2]∪[0，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查含有絕對(duì)值的恒成立問題，屬于高難題目．