Question

5．知函數(shù)f（x）=e^x-ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)與x軸沒有交點，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． [-$\frac{1}{e}$，e）
• B． （-$\frac{1}{e}$，e）
• C． （-$\frac{1}{e}$，$\frac{1}{e}$）
• D． （0，e）

Answer 1

分析 化簡可得函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)沒有交點，從而利用數(shù)形結(jié)合的方法求解．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=e^x-ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)與x軸沒有交點，
∴函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)沒有交點，
作函數(shù)y=e^x與y=ax的圖象在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)的圖象如右圖，
當直線y=ax過點B（-1，$\frac{1}{e}$）時，a=-$\frac{1}{e}$；
當直線y=ax與y=e^x相切時，設切點為A（x，e^x），
故e^x=$\frac{{e}^{x}}{x}$，解得，x=1；
故點A（1，e），
故a=e；
故實數(shù)a的取值范圍是[-$\frac{1}{e}$，e），
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及數(shù)形結(jié)合的思想應用，同時考查了轉(zhuǎn)化思想的應用，屬于中檔題．