如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=
60°，點B為DE的中點。
（1）求證：平面A1BC⊥平面A1ABB1；
（2）設(shè)二面角A1-BC-A的大小為α，直線AC與平面A1BC所成的角為β，求sin（α+β）的值。

（1）證明：在平行四邊形ACDE中，
∵AE=2，AC=4，∠E=60°，點B為DE的中點，
∴∠ABE=60°，∠CBD=30°，
從而∠ABC=90°，即AB⊥BC，
又面ABC，面ABC，
∴，而，
∴BC⊥平面，
又平面，
∴平面⊥平面。
（2）解：由（1）可知，AB⊥BC，
∴為二面角的平面角，即=α，
在中，，
，，
過點A在平面內(nèi)作于F，連結(jié)CF，
則由平面平面，且平面平面，
得AF⊥平面，
∴∠ACD為直線AC與平面所成的角，即∠ACD=β，
在Rt△ACF中，，
，
∴，
即。
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE=2，AC=AA1=4，∠E=60°，點B為DE中點．
（Ⅰ）求證：平面A1BC⊥平面A1ABB1．
（Ⅱ）求二面角A-A1C-B的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA1上的動點．
（1）當(dāng)AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（2）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•浙江模擬）如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA1上的動點．
（Ⅰ）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅱ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•泉州模擬）如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0），P是側(cè)棱AA1上的動點．
（Ⅰ）當(dāng)AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）試求三棱錐P-BCC1的體積V取得最大值時的t值；
（Ⅲ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•梅州二模）如圖，側(cè)棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AA1+AB+AC=3，AB=AC=t（t＞0）．
（Ⅰ）當(dāng)AA1=AB=AC時，求證：A1C⊥平面ABC1；
（Ⅱ）若二面角A-BC1-C的平面角的余弦值為
10
10
，試求實數(shù)t的值．

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