Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝x－ln(x＋a)．（a是常數(shù)）

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II) 當(dāng)在x＝1處取得極值時，若關(guān)于x的方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍；

(III)求證:當(dāng)時．

 

Answer 1

【答案】

 

(I) 函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為

(II)

(III)證明略

【解析】解：(I) 由已知由函數(shù)的定義域為，，

，

由得，

由得，

所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為．    …4分

（II）由題意，得 ， a＝0 ．         ……5分

由(Ⅰ)知f(x)＝x－lnx，

∴f(x)＋2x＝x2＋b  ，即 x－lnx＋2x＝x2＋b  ， x2－3x＋lnx＋b＝0，

設(shè)＝x2－3x＋lnx＋b(x＞0)，

則＝2x－3＋＝,  

當(dāng)變化時，，的變化情況如下表：

x		(，1)	1	(1，2)	2
	0	－	0	＋
	b－－ln2	↘	b－2	↗	b－2＋ln2

……6分

∵方程f(x)＋2x＝x2＋b在[，2]上恰有兩個不相等的實數(shù)根,

  , ,

  ＋ln2≤b<2，即．  ……8分

(III)由(I) 和(II)可知當(dāng)時,,即,     

當(dāng)時,  ．                                         ……… 10分

令（）,則．

所以當(dāng)時,

,

即,

．                     ……12分