Question

已知長(zhǎng)為m（m＞0）的線段P₁P₂兩端點(diǎn)上在y²=4x上移動(dòng)．
（1）求P₁P₂中點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）求M點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）設(shè)P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點(diǎn)為M（x，y），利用x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)，y=t₁+t₂，|P₁P₂|=m，消去t₁，t₂ 即可得到中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）通過中點(diǎn)軌跡方程，m≥4，m＜4，求出M點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的最小值及對(duì)應(yīng)點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答：解：（1）設(shè)P₁（t₁²，2t₁），P₂（t₂²，2t₂），P₁P₂中點(diǎn)為M（x，y），則
x=

1

2

(

t

2 1

+

t

2 2

)…①y=t₁+t₂…②
而|P₁P₂|=m∴（t₁²-t₂²）²+（2t₁-2t₂）²=m²…③
由①，②，③（4x-y²）（y²+4）=m²…④
這就是P₁P₂中點(diǎn)的軌跡方程．
（2）由④：x=

1

4

(y2+

m2

y2+4

)=

1

4

[(y2+4)+

m2

y2+4

]-1．
∵y²+4∈[4，+∞）
當(dāng)m≥4時(shí)，(y2+4)+

m2

y2+4

≥2m，當(dāng)僅當(dāng)y2+4=m，即y=±

m-4

時(shí)，
取“=”號(hào)．此時(shí)：xmin=

m-2

2

．M點(diǎn)的坐標(biāo)為(

m-2

2

，±

m-4

)．
當(dāng)m＜4時(shí)，由x-

m2

16

=

1

4

(y2+

m2

y2+4

-

m2

4

)=

y2(4y2+16-m2)

16(y2+4)

∵0＜m＜4∴y2+16-m2＞0，當(dāng)僅當(dāng)y=0時(shí)，x-

m2

16

=0
此時(shí)，xmin=

m2

16

，對(duì)應(yīng)M點(diǎn)(

m2

16

，0)
∴當(dāng)m≥4時(shí)，M到y(tǒng)軸距離最小值為

m-2

2

，M點(diǎn)坐標(biāo)為(

m-2

2

，±

m-4

)．
當(dāng)0＜m＜4時(shí)，M到y(tǒng)軸距離最小值為

m2

16

，M點(diǎn)坐標(biāo)為(

m2

16

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查曲線的軌跡方程的求法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)最值的求法．