Question

已知函數(shù)f(x)＝ax＋ (a>1)．

(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)；

(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）見解析

【解析】證明：(1)任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設(shè)x1<x2，

由于a>1，ax1<ax2，∴ax2－ax1>0.

又∵x1＋1>0，x2＋1>0，

∴－

＝

＝>0，

于是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，

即f(x2)>f(x1)，

故函數(shù)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．

(2)證法一：假設(shè)存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，

則ax0＝－.

∵a>1，

∴0<ax0<1.

∴0<－<1，即<x0<2，與假設(shè)x0<0相矛盾，

故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．

證法二：假設(shè)存在 x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0，

①若－1<x0<0，

則<－2,0<ax0<1，

∴f(x0)<－1，與f(x0)＝0矛盾．

②若x0<－1，則>0,1>ax0>0，

∴f(x0)>0，與f(x0)＝0矛盾，

故方程f(x)＝0沒有負(fù)數(shù)根．