Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n+1

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項a_n；
（3）求

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)的值．

Answer 1

分析：（1）根據題中已知條件化簡公式可得出

an

2n+1

與

an-1

2n-1

的關系，即可證明數(shù)列{

an

2n+1

}是等差數(shù)列；
（2）根據（1）中求得的

an

2n+1

與

an-1

2n-1

的關系，即可求出

an

2n+1

的表達式，進而求出數(shù)列{a_n}的通項；
（3）根據數(shù)列{a_n}的通項先求出

1

an

的表達式，然后求出前n項和的表達式，進而可以求出

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)的值．

解答：解：（1）∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=8n²-2
即

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2(n＞1)…（4分）
∵

a1

2+1

=1，
∴{

an

2n+1

}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列  …（5分）
（2）∵

an

2n+1

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴a_n=4n²-1…（9分）
（3）∵

1

an

=

1

4n2-1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（11分）
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)…（12分）
∴

lim

n→∞

(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

2n+1

)=

1

2

…（14分）

點評：本題主要考查了數(shù)列的遞推公式以及數(shù)列的極限，考查了學生的計算能力和對數(shù)列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，是各地高考的熱點，屬于中檔題．