Question

13．如果復(fù)數(shù)（1+bi）（2+i）是純虛數(shù)，則$|{\frac{2b+3i}{1+bi}}|$的值為$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡復(fù)數(shù)，再由已知復(fù)數(shù)（1+bi）（2+i）是純虛數(shù)，列出方程組，求解得到b的值，然后代入$\frac{2b+3i}{1+bi}$，由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡，由復(fù)數(shù)求模公式計算則答案可求．

解答 解：（1+bi）（2+i）=2-b+（1+2b）i，
∵復(fù)數(shù)（1+bi）（2+i）是純虛數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2-b=0}\\{1+2b≠0}\end{array}\right.$，
解得b=2．
$\frac{2b+3i}{1+bi}$=$\frac{4+3i}{1+2i}$=$\frac{（4+3i）（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=\frac{10-5i}{5}=2-i$，
則$|{\frac{2b+3i}{1+bi}}|$=$\sqrt{{2}^{2}+1}=\sqrt{5}$
故答案為：$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．