Question

7．△ABC外接圓的半徑為$\sqrt{2}$，圓心為O，BC=2，且∠ABC為銳角，則$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{BC}$的取值范圍是（　�。�

• A． （-2，2$\sqrt{2}$]
• B． （-2$\sqrt{2}$，2]
• C． [-2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• D． （-2，2）

Answer 1

分析 判斷$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BC}$的夾角的范圍，根據(jù)余弦定理得出AB，AC的關(guān)系，使用數(shù)量積的運算公式利用排除法選出答案．

解答 解：過O作OD⊥AB，OE⊥AC，則D，E分別是AB，AC的中點，
則$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{OA}•（\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}）$=OA•AB•cos∠BAO-OA•AC•cos∠CAO=AB•AD-AC•AE=$\frac{1}{2}A{B}^{2}-\frac{1}{2}A{C}^{2}$．
∵∠ABC是銳角，
∴cos∠ABC=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{A{B}^{2}-A{C}^{2}+4}{4AB}$＞0．
∴AB²-AC²＞-4．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$（AB²-AC²）＞-2．排除B，C．
∵O為△ABC的外接圓圓心，∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{BC}$的夾角θ不等于0°．
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BC}$=OA•BC•cosθ=2$\sqrt{2}$cosθ≠2$\sqrt{2}$．排除A．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，向量加法的幾何意義，余弦定理，屬于中檔題．