如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AD上移動．求AE等于何值時，二面角D1ECD的大小為
π4
？
分析：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AE=x，設(shè)平面D1EC的法向量
n
，通過
n
•
D1C
=0
n
•
CE
=0
求出
n
，然后cos
π
4
=
|
n
•
DD1
|
|
n
||
DD1
|
=
2
2
求出二面角的大�。�
解答：精英家教網(wǎng)解：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AE=x，則A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0），C（0，2，0）．
設(shè)平面D1EC的法向量
n
=（a，b，c），
∴
CE
=（1，x-2，0），
D1C
=（0，2，-1），
DD1
=（0，0，1）．
由
n
•
D1C
=0
n
•
CE
=0
 ?
2b-c=0
a+b(x-2)=0
．
令b=1，
∴c=2，a=2-x．∴
n
=（2-x，1，2）．
依題意，cos
π
4
=
|
n
•
DD1
|
|
n
||
DD1
|
=
2
2
?
2
(x-2)2+5
=
2
2
．
∴x1=2+
3
（不合題意，舍去），x2=2-
3
．
∴AE=2-
3
時，二面角D1-EC-D的大小為
π
4
．
點(diǎn)評：本題是中檔題，考查二倍角的應(yīng)用，利用空間直角坐標(biāo)系，求解二面角時，注意法向量的求法是解題的關(guān)鍵，考查計算能力．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖在長方體ABCD-A1B1C1D1中，三棱錐A1-ABC的面是直角三角形的個數(shù)為：
4
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，定義八個頂點(diǎn)都在某圓柱的底面圓周上的長方體叫做圓柱的內(nèi)接長方體，圓柱也叫長方體的外接圓柱．設(shè)長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為a，b，c（其中a＞b＞c），那么該長方體的外接圓柱側(cè)面積的最大值等于（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A.         B.               C.                 D.1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若一個n面體中有m個面是直角三角形，則稱這個n面體的直度為.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，四面體A1-ABC的直度為(    )

 

A．            B．              C．              D．1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2010-2011年四川省成都市高二3月月考數(shù)學(xué)試卷 題型：填空題

（文科做）（本題滿分14分）如圖，在長方體

ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點(diǎn)E在棱AB上移動.

（1）證明：D1E⊥A1D;

（2）當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時，求點(diǎn)E到面ACD1的距離；

（3）AE等于何值時，二面角D1—EC－D的大小為.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

 

 

 

（理科做）(本題滿分14分)

     如圖，在直三棱柱ABC – A1B1C1中，∠ACB = 90°，CB = 1，

CA =，AA1 =，M為側(cè)棱CC1上一點(diǎn)，AM⊥BA1．

   （Ⅰ）求證：AM⊥平面A1BC；

   （Ⅱ）求二面角B – AM – C的大小；

   （Ⅲ）求點(diǎn)C到平面ABM的距離．

 

 

 

 

 

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